Як множити матриці?

Як множити матриці?
Визначення твори матриць. Матрицю, елементи, якої обчислюються за формулою.

Операція визначена тільки для узгоджених матриць, у яких число стовпців матриці Розглянемо докладніше процедуру знаходження твори матриць. Щоб отримати елемент, що стоїть на перетині i-го рядка і j-го стовпця матриці, слід виділити i-й рядок матриці рис. 1. 3. Вони містять однакове число елементів, так як матриці узгоджені. Потім знайти суму попарних творів відповідних елементів: перший елемент i-го рядка множиться на перший елемент j-го стовпця, другий елемент i-го рядка множиться на другий елемент j-го стовпця і т. д., а результати перемноження складаються. зліва. Аналогічно матрицю справа.

Приклад 1. 6. Обчислити твору. Рішення. Використовуючи правило множення матриць, отримуємо визначені, але є матрицями різних розмірів, тобто Приклад 1. 7. Знайти твору. Рішення. Використовуючи правило множення, отримуємо Приклад 1. 8. Рішення.

Всі матриці квадратні другого порядку. Отже, всі твори будуть квадратними матрицями того ж порядку. Використовуючи правило множення, отримуємо Зауваження 1. 2. Приклад 1. 9. Рішення. Очевидно, що. Обидва твори це квадратні матриці одного і того ж порядку, але.

Результати множення збігаються, тобто не може бути знайдено, так як число стовпців матриці одна. При цьому говорять, що не можна помножити матрицю справа.

У той же час можна помножити матрицю будь-яке число, довільні матриці, для яких визначені операції множення і додавання, записані в лівих частинах наступних рівностей. Тоді визначені операції, зазначені в правих частинах, і справедливі рівності: 1. 2. 3. 4. Приклад 1. 10. Продемонструвати справедливість властивостей 1, 2, якщо Рішення. Зауваження 1. 3 Розділ 1. У загальному випадку множення матриць не є комутативним.

Твір залежить від перестановки множників, тобто перше, розміри матриць можуть бути такими, що твір визначено, а твір не існує і навпаки в прикладі 1. 7 знайдено твір, а твір не визначено; в прикладі 1. 9, г знайдено твір, а твір не визначено. По-друге, якщо обидва твори визначені, результати можуть виявитися матрицями різних розмірів див. приклад 1. 6 і 1. 9, а. Якщо матриці квадратні одного порядку, то твори будуть також квадратними матрицями того ж порядку. Навіть за цих умов множення матриць НЕ коммутативно див. приклад 1. 8 і 1. 9, 6, де. З іншого боку, у прикладі 1. 8, а в прикладі 1. 9, в, тобто існують квадратні матриці, твір яких не залежить від перестановки множників. називаються перестановки, якщо. Перестановки можуть бути тільки квадратні матриці одного і того ж порядку.

Зокрема, наприклад, можна показати, що діагональні матриці одного і того ж порядку перестановочні. 2. Іншими словами, одинична матриця перестановочне з будь квадратною матрицею того ж порядку.

3. тобто нульова квадратна матриця перестановочне з будь квадратною матрицею того ж порядку. 4. з операціями додавання матриць і множення матриць на число являє собою некомутативними кільце з одиницею. Кільце не є комутативним, так як операція множення квадратних матриць порядку не коммутативна. Одиничним елементом кільця служить одинична матриця.

5. Зауважимо, що сума і твір діагональних верхніх трикутних, нижніх трикутних матриць одного і того ж порядку є діагональними верхніми трикутними, нижніми трикутними матрицями. Отже, операції додавання і множення матриць визначені на множинах діагональних верхніх трикутних, нижніх трикутних матриць одного і того ж порядку. Тому кожне із зазначених множин є кільцем з одиницею, причому кільце діагональних матриць коммутативное.

Приклад 1. 11. Знайти матриці, перестановочне з матрицею. Рішення. повинна бути квадратної другого порядку.

Нехай вона має вигляд Записуючи рівність відповідних елементів цих матриць, отримуємо систему рівнянь З першого рівняння випливає, що, а з третього:. Отже, шукані матриці мають вигляд, де параметри, що приймають будь-які дійсні значення. -Го порядку за допомогою множення на рядки і стовпці одиничної матриці. 1. Як бачимо, в результаті множення матриці, а при множенні зліва на рядок. Елемент Приклад 1. 12. Рішення.

Перемножая матриці, отримуємо: виділено 2-й стовпець, перший рядок, елемент. 2. Множачи праворуч матрицю, а потім на рядок отримуємо квадратну матрицю n-го порядку, в якій всі елементи рівні нулю, за винятком елементів j-го стовпця, який збігається з j-м стовпцем матриці можна, наприклад, замінити j-й стовпець матриці Приклад 1. 13.

Дано матриці, вирахувати. Рішення.

Виконуючи дії, отримуємо:.

Як множити матриці?

Сподобалася стаття? Поділися нею з друзями!




Добавить комментарий