Що таке ірраціональні числа?

Що таке ірраціональні числа?
Ірраціональне число (irrationalis нерозумний, від
in (ir) негативна приставка і ratio рахунок, відношення) дійсне число, що не є раціональним (тобто цілим або дробовим). Дійсні ірраціональні числа можуть бути представлені нескінченними неперіодичними десятковими дробами, напр.

Ірраціональні числа розділяються на нераціональні алгебраїчні числа і трансцендентні числа.

Існування ірраціональних відносин (напр., ірраціональність відносини діагоналі квадрата до його сторони) було відомо ще в давнину.

Термін ввів М. Штіфель (1544). Ірраціональність числа
була встановлена ​​І. Ламбертом (1766). Сувора теорія ірраціональних чисел була побудована тільки в 2-й пол. 19 в. Див також
Ірраціональне число — так називаються в числа, які не можуть бути точно виражені ні цілими числами, ні арифметичними, а представляються нескінченними і неперіодичними десятковими дробами; означаються особливими знаками (радикалами) або буквами (
е,
). Повна, чудова за своєю суворістю теорія І.
чисел, або, що одне і те ж, несумірних відносин, існувала вже у греків і викладена
в V-й книзі його Почав. В даний час користуються популярністю погляди гейдельбергского професора.

Для з’ясування сутності І. числа розглянемо ряд чисел
u u u. u. (1)
визначальних деяку змінну величину u Числа. u
нехай будуть раціональні, тобто такі, які відомі з елементарної, саме позитивні або негативні, цілі числа або раціональні дроби.
Якщо існує таке раціональне число
а, що числове значення різниці
— A) може бути зроблено, при досить великому
n, менше всякого наперед довільно заданого малого числа, то
а називається межею змінної величини u. Звідси випливає, що ряд (1) має властивість:. (2)
при всякому т (хоча б навіть залежному від n), при досить великому
n. Властивість ряду (1), яке виражається нерівністю (2), є основне для змінних, що мають межі, але зворотного пропозиції не існує, тобто змінна величина може мати ряд приватних значень, що мають властивість (2), і не існувати такого числа
а (раціонального), яке можна було б назвати межею.
Так от, якщо раціонального межі змінної
і не існує, а приватні значення змінної задовольняють властивості, виражається нерівністю (2), то говорять, що ця змінна має межею І. число. Обчислити І. число з точністю до деякої заданої дробу 1 /
р — це означає вказати номер n приватного значення змінної величини і,
що має властивість (2), для якого, так само як і для всіх вищих номерів, задовольняється нерівність:
1 / p. Позначаючи це значення змінної через, можна сказати, що раціональне число
є наближення до І., заданому відомим поруч,
з точністю до 1 / p. Таке раціональне число
і вводиться потім у наближені обчислення замість І. числа.

Нехай дана
3, 14159. у якої цифри десяткових йдуть в деякій певній послідовності, т.
е. існують правила для продовження цих цифр
як завгодно далеко, причому ряд цифр не кінчається і скільки б їх не було написано, завжди можна, якщо побажаємо, за вказаними правилами, продовжувати ряд далі. Окремі числа ряду
= 3, 1
= 3, 14
= 3, 141. — = 0, 000.

00. в якій після коми буде n нулів і потім ще т десяткових цифр. Які б не були цифри,. , Число. (
+ 1) 000. Звідси випливає, що при досить великому
n і абсолютно незалежному від числа m, дріб (
n може бути зроблена як завгодно малою, а
— N причому ця нерівність має місце, скільки б не було цифр,. , Тобто яке б не було кінцеве число
т.
Таким чином всяка нескінченна десяткова неперіодична дріб визначає завжди деякий І. число, напр. ,
е, 2 і пр.

Тому обчислити І. число з точністю до 1/10
n це означає обчислити n десяткових знаків в розкладанні заданого І. числа в нескінченну десяткову дріб.
Д. Граве.

Що таке ірраціональні числа?

Сподобалася стаття? Поділися нею з друзями!




Добавить комментарий